Fellesemnet i Matematikk

Økt 5. Optimering

Eit samfunnspørsmål (fyrste time)

5.3. Eit samfunnspørsmål (fyrste time)

Kva bør torskekvoten for kystfisket vera i 2017?

Regulering av naturressursane er ein viktig politisk oppgåve. Dersom fisket er for stort, døyr fisken ut. Dersom fisket er for lite, døyr fiskerinæringa ut. For å finna optimale kvotar treng me modellar for fiskeførekomsten og me treng sosialøkonomiske modellar som ser samanhengen mellom ulike næringar, prissetjing m.m. Vidare treng me matematikk for å uttrykkja modellane på ein presis måte.

For dei aller fleste praktiske problem er modellane so kompliserte at me treng datamaskiner for å løysa problemet eller simulera økosystemet og/eller økonomien. Dvs. me treng biologar, sosialøkonomar og dataingeniørar/-vitarar, og matematikken er det felles språket som dei treng for å samarbeida.

Diverre er me ikkje klar for å sjå på dei store, praktiske og mest interessante modellane enno. Me må øva opp matematikkforståinga gjennom forenkla modellar og problem. Prinsippa som me ser på er likevel dei same som vert brukt i meir avanserte modellar. Modellane nedanfor byggjer på Philip A. Neher: Natural resource economics. Conservation and exploitation. (1990).

Oppgåve 5.5 (Naturleg vekst)

Plott av vekstfunksjonen


Figur 2: Ein enkel vekstfunksjon for ein fiskeførekomst.

Figur 2 viser ein mogleg vekstfunksjon. På horisontal-aksen har me fiskeførekomsten (biomassen) b i tonn. På vertikal-aksen (y-aksen) har me årleg naturleg vekst, g(b), dvs. auka i biomassen i løpet av eitt år utan fiske. Funksjonen kan skrivast som

g(b) = 0,005 b (100 b).

Med utgangspunkt i denne vekstfunksjonen, diskuter fylgjande:

1.
Korleis vil førekomsten utvikla seg over tid? Sjå på ulike startverdiar for b. Kan førekomsten veksa til evig tid? Vil han nærma seg ein bestemt idealbestand?
2.
Kan vekst vera negativ? Kva meiner me evt. med negativ vekst? Er der forskjell i tydinga av «vekst» i matematisk språk og i lekspråk?

Oppgåve 5.6 (Vekst med fiske) Me skal halda fram med vekstfunksjonen g(b) frå forrige oppgåve, og sjå korleis fiske påverkar veksten i fiskeførekomsten. Me skriv x for fiskeuttaket i tonn, dvs. x er reduksjon i biomassen pga. fiske. Me skal studera kor stor x kan vera med bærekraftig fiske.

Med utgangspunkt vekstfunksjonen g(b), diskuter fylgjande:

1.
Kva meiner me med bærekraftig fiske? Ta utgangspunkt i vektsfunksjonen, og gje svaret både i matematisk form og med kvardagsord.
2.
Funksjonen g(b) tek ikkje omsyn til fiskeuttaket x. Korleis vil du beskriva nettoveksten når me tek omsyn til både naturleg vekst (g(b)) og fiskeuttaket (x)?
3.
Sett at førekomsten er b = 20. Gje ein funksjon h20(x) for nettoveksten i fiskeførekomsten for variabelt fiskeuttak x.
4.
For kva verdiar av fiskeuttaket x har me auke i førekomsten? For kva verdiar har me nedgang? (Me går stadig ut frå at førekomsten er b = 20.)
5.
Sett at årleg fiskeuttak er x = 100. For kva førekomstar b har me auke i førekomsten? For kva verdiar har me nedgang?
6.
Kva er det største moglege fiskeuttaket x med bærekraftig fiske? Kor stor må førekomsten vera for å gje dette maksimale fiskeuttaket?
7.
Gje ein generell funksjon h(b,x) for nettoveksten i fiskeførekomsten.

Oppgåve 5.7 (Derivasjon) Me skal halda fram med vekstfunksjonen frå oppgåve 5.5 og 5.6

g(b) = 0,005 b (100 b).

Svar på fylgjande spørsmål:

1.
Finn den deriverte g(b).
2.
Løys likninga g(b) = 0 for b.
3.
Kva verdi av b maksimerer veksten g(b)?