Kjerneregelen | Fellesemnet i Matematikk

6.1. Kjerneregelen

Problem 6.1 Sjå på ein kule som fell frå Preikestolen. Høgda i meter over fjprden etter $t$ minutt er

h (t) = 600 - 4, 9 {[60 t]}^{2} .

Finn hastigheita etter $t$ minutt i meter per minutt.

Resiprokalregelen seier at

\frac{d}{d x} \frac{1}{f (x)} = - \frac{f^{'} (x)}{{(f (x))}^{2}} .

Bruk kjerneregelen for å bevisa denne regelen.

Sats 4 Lat $f (u)$ vera ein funksjon som er deriverbar på $u = g (x)$ , og $g (x)$ ein funksjon som er deriverbar på $x$ . Da er den samansette funksjonen $(f \circ g) (x)$ deriverbar på $x$ , og

{(f \circ g)}^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .

Der finst mange bevis for kjerneregelen. Dette beviset er enkelt og intuitivt å forstå, og det gjeld for dei alle fleste funksjonar. Videoen gløymer derimot ein viktig føresetnad. Beviset er berre gyldig dersom $g (x + Δ x) - g (x) \neq 0$ for alle $Δ x \neq 0$ i eit nabolag rundt 0. Jf. WikiPedia og Adam og Essex s. 116.

Beviset i Adams og Essex (side 119f) er vanskelegare å forstå, men det er til gjengjeld gyldig for alle funksjonar.

Video frå Khan Academy

Oppgåve 6.1 Løys oppgåvene 1, 3, 5, 7, 37 frå kapittel 2.4 i Adams og Essex.