Fellesemnet i Matematikk

Økt 2. Grenseverdiar

Førebuing (Heimearbeid)

2.1. Førebuing (Heimearbeid)

Dette kapittelet svarer til avsnitt 1.2 i Adams og Essex.

Problem 2.1 Me slipp ein ball frå høgda h0 meter over bakken. Formelen for høgda over bakken etter t sekund er

h(t) = h0 4.9t2.

Finn eit uttrykk v(t) for hastigheita etter t sekund.

Problem 2.2 Finn grensa

limx0(1 + x2) 1 x2 =

Med ein datamaskin kan ein prøva seg fram med stadig mindre verdiar av x (x 0), og dermed estimera grensa. Men der er ein fallgruve…

Problem 2.3 Finn fylgjande grenser

1.
limx0x2
2.
limx0 1 x
3.
limx1x2 1 x 1 = (x + 1)(x 1) x 1
4.
limx1f(x), der
f(x) = x + 1,x1, 1,x = 1.

f(x) = 1,der x > 0, 0,der x = 0, 1,der x < 0.

Kva kan me seia om grenseverdien limx0f(x)?

Sats 1 La P(x) og Q(x) være to polynom. Då har me fylgjande grenseverdiar:

limxaP(x) = P(a) (1)  limxaP(x) Q(x) = P(a) Q(a),dersom Q(a)0 (2) 

Denne satsen fylgjer enkelt frå ei rekkje enkle reglar for grenseverdiar ved addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Me går igjennom heile remsa i føredraget til høgre.

Problem 2.4 Finn limx0 sin x x

Dømet over illustrerer skvissatsen.

Sats 2 (Skvis-satsen) Gå ut frå at f(x) g(x) h(x) for alle x på eit intervall på begge sider av a, bortsett frå akkurat i punktet x = a.

Gå vidare ut frå at f(x) og h(x) har same grenseverdi når x a:

limxaf(x) = limxag(x) = L

Då har me ogso

limxag(x) = L

Merknad 2 Skvissatsen gjeld òg for kvar av dei einsidige grenseverdiene.