Fellesemnet i Matematikk

Økt 3. Kontinuitet og uendelegheit

Forarbeid

3.1. Forarbeid

Før den tredje økta må du sjå videoane om uendelegheit og kontinuitet. Mellom føredraga er der oppgåver som du bør tenkja gjennom og løysa for å sjekka at du har forståtte videoane. Me vil drøfta oppgåvene i klassa, slik at alle forstår innhaldet.

3.1.1. Uendelegheit

Problem 3.1 Sjå på ein sirkel med radius $r$ .

Me veit at omkrinsen er gjeve som $O = 2 π r$ .

Vis korleis me kan utleida formelen for arealet.

Me veit at når $x \to 0$ so $\frac{1}{x} \to \infty$ , og me skriv

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty .

Kva skjer med $\frac{1}{x}$ når $x \to \infty$ ?

Kva meiner me med $lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ ?

Problem 3.2 Finn fylgande grenseverdiar, eller forklar kvifor dei ikkje eksisterer:

\begin{align} lim_{x \to \infty} x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x & (8) \\ lim_{x \to \infty} - \frac{x^{4}}{1000} + x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x & (9) \end{align}

Oppgåve 3.1 Finn fylgande grenseverdi, eller forklar kvifor han ikkje eksisterer:

\begin{align} lim_{x \to \infty} x^{4} - 10 x^{2} + 7 x - 5 & (10) \\ lim_{x \to - \infty} x^{4} - 10 x^{2} + 7 x - 5 & (11) \end{align}

Problem 3.3 Kva skjer med fylgjande funksjonar når $x \to \infty$ og når $x \to - \infty$ ?

\begin{align} f (x) & = \frac{x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x}{- \frac{x^{4}}{1000} + x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x} & (12) \\ g (x) & = \frac{- \frac{x^{4}}{1000} + x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x}{x^{3} - 1000 x^{2} - 100 x} & (13) \\ h (x) & = \frac{x^{3} - 10 x^{2} - 2 x}{x^{3} + 5 x^{2} - 2} & (14) \end{align}

Finn grenseverdiane eller forklar kvifor dei ikkje eksisterer.

Oppgåve 3.2 Finn fylgande grenseverdiar, eller forklar kvifor dei ikkje eksisterer:

\begin{align} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + x^{2} + 1}{2 x^{3} - x} & (15) \\ lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} + x^{2} + 1}{2 x^{3} - x} & (16) \end{align}

Problem 3.4 Kva skjer med fylgjande funksjonar når $x \to \infty$ og når $x \to - \infty$ ?

\begin{align} f (x) & = \sqrt{x^{2} + x + 1} - x & (17) \\ g (x) & = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - x} + x} & (18) \end{align}

Finn grenseverdiane eller forklar kvifor dei ikkje eksisterer.

Oppgåve 3.3 Finn fylgande grenseverdiar, eller forklar kvifor dei ikkje eksisterer:

\begin{align} lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x^{2} + 1} - 2 x & (19) \\ lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 x^{2} + 1} - 2 x & (20) \end{align}

3.1.2. Kontinuitet

Vi blar igjennom ein serie kjende funksjonar, og ser kva som er kontinuerlige og kva som er diskontinuerlege.

Definisjon 1 Lat $f (x)$ vera ein funksjon og at $(a, b)$ er eit ope intervall der $f (x)$ er definert. Me seier at $f (x)$ er kontinuerleg i punktet $x_{0} \in (a, b)$ dersom

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

Oppgåve 3.4

Sjå på funksjonen $f (x)$ som definert i plottet ved sidan av. Svar på fylgjande

1.: I kva punkt $x$ er $f (x)$ diskontinuerleg?
2.: I kva punkt $x$ er $f (x)$ udefinert?

1.: Halveringsmetoden
2.: Kontinuerleg utviding
3.: Min-max-satsen