Matematisk Problemløysing 2020

Veke 3–4. Eksponentialfunksjonen

Noverdi

3.6 Noverdi

Eksempeloppgåve 3.29 Du skal halda brudlaup i januar 2020, og treng 50 000 kr. til festen då. Du set av pengar til festen allereie i desember 2018, slik at dei står på konto i eitt år til 2,5% rente. Kor mykje må du setja inn?

Løysing 3.11 Som vanleg kan me setja opp ein modell som viser samanhengen mellom pengar no, og pengane når me skal bruka dei. Lat oss skriva S0 for summen me set inn i desember 2018, og S1 for saldoen me kan ta ut i januar 2020.

Me har to opplysingar som me kan bruka i modellen. For det fyrste er S1 lik S0 pluss rentene, dvs.

S1 = S0 1,025.

For det andre er S1 = 50 000. Det er nok informasjon til ei likning med ein ukjend:

50 000 = S0 1,025.

Her løyser me ved å dela på 1,025, og me får

50 000 1,025 = S0.

Reknar me ut brøken på kalkulator, får me at me må setja inn er 48 780,49 kr.

Øvingsoppgåve 3.30 Du skal arrangera ein stor festival om eitt år og treng ein million kroner til arrangementet. Du samlar inn pengar eit år på førehand og set dei på konto til 3% rente. Kor mykje må du setja inn? (Me føreset at perioden går nyttår til nyttår, slik at du får alle rentene med i utbetalinga.)

Definisjon 3.3 Dei to siste oppgåvene spør etter det som me kaller noverdi. Den summen du må setja av no, for å få eit visst beløp på eit visst tidspunkt i framtida med renter, er noverdien til beløpet. Når me reknar ut noverdien, taler me gjerne om diskontering, og rentesatsen vert gjerne diskonteringsrente. Vekstfaktoren 1 1+r kan me kalla diskonteringsfaktoren.

Når me reknar om frå framtidsverdi til noverdi, seier me at me diskonterer.

Eksempeloppgåve 3.31 Du planlegg eit innovasjonsprosjekt, som er venta å resultere i eit patent med ein marknadsverdi på 100 millionar kroner om fem år. Kva er noverdien til eit slikt patent når diskonteringsrenta er 4%?

Løysing 3.12 Som før kan me tenkja oss at noverdien S0 står til forrenting (i banken) i fem år til 4% rente. Den framtidige verdien er S5 = 100 mNOK. Me har altso

S5 = 100ogS5 = S0 1,045,

eller

100 = S0 1,045.

Ved å dela på båe sider, får me

100 1,045 = S0.

Me kalkulatoren S0 = 82,19. Noverdien er altso 82,19 millionar kroner.

Øvingsoppgåve 3.32 Martin er 47 år og vil teikna ei livforsikring som skal gje han ei eingongsutbetaling 500 000 kr. når han er 67 år. Diskonteringsrenta er 4%. Kva er noverdien på denne eingongsutbetalinga?