Veke 14. Kjerneregelen og andre derivasjonsreglar

Eksempeloppgåve 15.1 Deriver funksjonen

Løysing 15.1 Det er mogleg å løysa denne oppgåva ved å ganga ut parentesen 17 gongar og so bruka vanlege reglar for polynomdivisjon, men det denne utgonginga er strevsam, so me skal velja ein enklare metode.

Funksjonen $f\left(x\right)$ er «noko» opphøgd i 17. Når me deriverer dette får me 17 gongar «noko» opphøgd i 16, altso

Denne derivasjonen er derimot med hensyn til «noko». For å få den deriverte med hensyn til $x$, må me derivera «noko» (som ein funksjon av $x$), dvs. $x^2-2x+1$, som vert $2x-2$. Desse to deriverte skal me ganga saman,

Denne metoden heiter kjerneregelen (Rekneregel 15.1). Det er mogleg å prova denne regelen, men det krev at ein tek seg meir tid med den abstrakte teorien enn me har gjort.

Øvingsoppgåve 15.2 Deriver funksjonen

Eksempeloppgåve 15.3 Deriver funksjonen

Løysing 15.2 Funksjonen $f\left(x\right)$ er «noko» opphøgd i 9. Når me deriverer dette får me 9 gongar «noko» opphøgd i 8, altso

I tillegg må me derivera «noko», dvs. $2x^2-1$, som vert $4x$. Då får me

Svaret er altso

Løysing 15.3 Dersom me set $u=2x^2-1$ og $g\left(u\right)=u^9$, får me

Dei deriverte er $u^{\prime }=4x$ og $g^{\prime }\left(u\right)=9u^8$. Kjerneregelen fortel oss då at

Øvingsoppgåve 15.4 Deriver funksjonen

Merknad 15.1 Kjerneregelen er lett å hugsa dersom me skriv leibnitznotasjon. Hugs at me kunne skriva $\frac{df}{dx}$ i staden for $f^{\prime }\left(x\right)$. Sjølv om det ikkje er formelt korrekt som argumentasjon, kan me tenkja oss at me les $\frac{df}{dx}$ som ein brøk og utvider brøken.

som altso er $f$ derivert med hensyn til $u$ (kjernen) gonga med $u$ derivert med hensyn til $x$.

Dette er ikkje noko anna enn det som står i Rekneregel 15.1.