Annuitetslan | Matematisk Problemløysing

Eksempeloppgåve 5.23 Jenny kjøper moped og låner 50 000 kroner i banken til 8% rente per år. Ho får eit annuitetslån, slik at ho betaler eit fast årleg beløp (annuitet) på $10 000$ kr som dekkjer renter og avdrag. Kor mykje av lånet gjenstår etter fem år?

Løysing 5.13 (Med tabell) Den mest oversiktlege måten å rekna ut dette på, er å setja opp ein tabell med lånesaldoen år for år.

År	Saldo inn	Med renter	Etter innbetaling
1	50 000	$\times 1,08 \to 54 000$	$- 10 000 \to 44 000$
2	44 000	$\times 1,08 \to 47 520$	$- 10 000 \to 37 520$
3	37 520	$\times 1,08 \to 40 521,60$	$- 10 000 \to 30 521,60$
4	30 521,60	$\times 1,08 \to 32 963,33$	$- 10 000 \to 22 963,33$
5	22 963,33	$\times 1,08 \to 24 800,40$	$- 10 000 \to 14 800,40$

Restlånet etter fem år er altså 14 800,40 kroner.

Løysing 5.14 (Kontantstraumen) Lånet kan me modellera som to uavhengige kontantstraumar: ei låneutbetaling frå banken og ein serie med nedbetalingar. Oppgåva spør om lånesaldoen etter fem år. Me må difor samanlikna verdien av dei to straumane etter fem år.

Verdien av utbetalinga er lånebeløpet med renter for fem år:

U = 50 000 \cdot {1,08}^{5} = 73 466,40

Verdien av innskota kan me rekna ut med same rentesats, men med færre renteperioda. Fyrste nedbetaling skjer om eitt år og får renter for fire år; siste nedbetaling om fem år får ikkje renter.

I = \sum_{i = 0}^{4} 10 000 \cdot {1,08}^{i}

Med formellen for geometrisk rekkje har me:

I = 10 000 \cdot \frac{{1,08}^{5} - 1}{1,08 - 1} = 58 666,01 .

Lånesaldoen etter fem år er differansen

S = U - I = 14 800,39 .

Restlånet etter fem år er altså 14 800,39 kroner.

Merknad 5.7 Der er eit avvik på eitt øre mellom dei to svara. Årsaka til dette må vera avrundingsfeil. I tabellen runda me av til to desimalar for kvar line. Sjølv om kvar avrundingsfeil er mindre enn eit halvt øre, kan dei summera opp til eit heilt øre eller meir over fem liner. I den andre løysinga har me berre runda av to gongar, ein for $I$ og ein for $U$ , og avrundingsfeilen i sluttsvaret vert (venteleg) mindre.

Merknad 5.8 Sjølv om det andre løysingsforslaget er meir presist frå eit matematisk synspunkt, med mindre avrundingsfeil, so er det ikkje sikkert at det er det mest riktige svaret i røynda. Ofte kan lånevilkåra spesifisera at avrunding til heile øre skal skje kvart år, slik som rekna i tabellen. Slik som oppgåva er formulert, må me rekna båe løysingane for korrekte.

Øvingsoppgåve 5.24 Lars Magnus går av med pensjon, med ein pensjonsformue på 1,2 millionar kroner. Dei fyrste fem åra vil han reisa, og bruka relativt mykje pengar. Han vil difor ha ei årleg utbetaling (annuitet) på 200 000 kr desse fem åra. Avkastinga på pensjonskontoen er 4%. Kor mykje har han att på pensjonskontoen etter fem år (like etter at han har fått den femte annuiteten)? Løys helst oppgåva på to måtar, og samanlikn svara.

Øvingsoppgåve 5.25 Kalle har eit annuitetslån til 3,5% rente. Lånet var på 2 millionar kroner for tjue år sidan, og han har betalt 100 000 kr i året i renter og avdrag. Kor stort er lånet i dag?

Eksempeloppgåve 5.26 Sofie skal kjøpa bil og må låna pengar i banken. Ho vil ha eit annuitetslån, slik at ho betaler eit fast årleg beløp (annuitet) som dekkjer renter og avdrag. Renta er 5%, og lånet må vera betalt innan fem år. Ho har råd til å betala 20 000 kr per år. Kor mykje kan ho låna?

Løysing 5.15 Dette er eit noverdiproblem. Låneproblemet har to betalingsstraumar: det som banken betaler (låner) til Sofie, og det som Sofie betaler til banken. Desse to straumane må ha same verdi. Noverdi er standardmålet når me skal samanlikna pengebeløp på ulike tidspunkt.

Lånebeløpet på $x$ kr vert utbetalt no, so noverdien er òg $x$ .

Innbetalingane er ein straum med fem årlege annuitetar, den fyrste om eitt år. Her reknar med noverdi slik som me har gjort før. Noverdien er

V = \sum_{i = 1}^{5} 20 000 \cdot (\frac{1}{1,05})^{i} = 20 000 \cdot \sum_{i = 1}^{5} (\frac{1}{1,05})^{i} .

For å bruka formelen, må me trekkja ut éin faktor slik at summen startar med $i = 0$ .

V = \frac{20 000}{1,05} \cdot \sum_{i = 0}^{4} (\frac{1}{1,05})^{i} = \frac{20 000}{1,05} \cdot \frac{(\frac{1}{1,05})^{5} - 1}{\frac{1}{1,05} - 1} .

Resten kan me ta på kalkulator, og me finn at Sofie kan låna $V = 86 589,53$ kroner.

Øvingsoppgåve 5.27 Stein og Stine skal kjøpa leilegheit. Dei kan få eit annuitetslån til 3% rente over 20 år. Dei har råd til å betala 120 000 kr per år i renter og avdrag. Kor mykje kan dei låna?

Eksempeloppgåve 5.28 Ronny vil kjøpa motorsykkel og vil låna 100 000 kroner i banken. Renta er 8% og han må betala ned lånet over fem år. Han ynskjer eit annuitetslån, slik at han betaler eit fast årleg beløp (annuitet) som dekkjer renter og avdrag. Kor mykje må han betala per år?

Løysing 5.16 Her kan me bruka same modell som i oppgåve 5.26. Skilnaden er at lånebeløpet på 100 000 er kjend, medan den årlege tilbakebetalinga er ukjend, lat oss kalla beløpet $x$ .

Noverdien av lånet er 100 000 kroner.

Noverdien av tilbakebetalinga er

V = x \cdot \sum_{i = 1}^{5} (\frac{1}{1,08})^{i} = x \cdot 1,08 \cdot \sum_{i = 0}^{4} (\frac{1}{1,08})^{i} = \frac{x}{1,08} \cdot \frac{(\frac{1}{1,08})^{5} - 1}{\frac{1}{1,08} - 1} .

Ved hjelp av kalkulator kan me forenkla likninga

V = \frac{x}{1,08} \cdot \frac{(\frac{1}{1,08})^{5} - 1}{\frac{1}{1,08} - 1} = \frac{x}{1,08} \cdot 4,312 13 = x \cdot 3,992 71 .

Sidan lånet er 100 000 kroner, må me ha $V = 100 000$ for å gjera opp. Det gjev likninga

100 000 = x \cdot 3,992 71 .

Me løyser ved å dela på båe sidene:

x = \frac{100 000}{3,992 71} = 25 045,65 .

Han må altso betala $25 045,65$ kroner i året.

Øvingsoppgåve 5.29 Ronny (i forrige oppgåve) går til ein annan bank for å sjå om der finst betre tilbod på annuitetslån på 100 000 kroner. Han får eit tilbod med nedbetaling over seks år og rente på 8,5%. Kor mykje må han betala per år?

Veke 5–6. Finansmatematikk

Annuitetslån

5.6 Annuitetslån