Matematisk Problemløysing 2020

Veke 1. Prosentrekning

Meirverdiavgift

1.3 Meirverdiavgift

Øvingsoppgåve 1.13 Meirverdiavgifta (mva) er eit påslag på 25% av prisen til seljaren. (Dette gjeld dei fleste varer, nokre varer, t.d. mat, har andre satsar.) Seljaren tek 300kr. for buksa (utan mva). Kor mykje må kjøparen betale for buksa (med mva)?

Eksempeloppgåve 1.14 Ein CD kostar 200kr. med mva. Kor mykje vert betalt til seljaren og kor mykje er mva?

Løysing 1.7 (Enkel løysing) Prisen til seljaren er 100% og mva. er 25%. Totalprisen er då 125% som svarer til 200 kroner. Ein prosent er då $200 ∕ 125 = 1,6$ kroner.

Prisen til seljare er 100% eller $1,6 \cdot 100 = 160$ kroner.

Mva-beløpet er $1,6 \cdot 25 = 40$ kroner.

Nedanståande løysingsforslag er meir tungvint, men det kan vera nyttig å ta med seg likevel. For det fyrste er det somme tider vanskeleg å verta overbevist om at det enkle resonnementet er korrekt (som løysinga over). For det andre illustrerer det korleis me kan matematisera problemet på ein måte som er overførbar til meir avanserte eller komplekse problem.

Løysing 1.8 (Med modellering) Der er fleire måtar å løysa denne oppgåva på. Dersom ein er usikker på korleis ein skal gå fram, startar me med å matematisera den informasjonen me hev.

Prisen med mva. er oppgjeven, lat oss skriva $p_{m} = 200$ . Spørsmålet gjeld to ukjende storleikar: prisen uten mva. $p_{u}$ og mva. $m$ . Kva veit me om samanhengane mellom desse tre storleikane?

I alle fall veit me at prisen med mva. er lik prisen utan + mva. Dvs.

\begin{align} p_{m} = p_{u} + m . & (1) \end{align}

Dessutan veit me at mva. er 25% av prisen utan mva., dvs.

\begin{align} m = 0,25 \cdot p_{u} . & (2) \end{align}

Det me har gjort so langt er å setja opp ein modell som viser samanhengane mellom pris og mva. For å setja opp modellen må me kombinera kunnskap om det praktiske problemet og matematikk, og me må tolka teksta i oppgåva. Når modellen er sett opp, har me ein rein matematisk, abstrakt formulering av problemet. Me seier at me har matematisert problemet.

No kan me setja inn for $p_{m}$ og for $m$ i likning (1):

\begin{align} 200 = p_{u} + 0,25 \cdot p_{u} . & (3) \end{align}

Dette er ein heilt ordinær likning med ein ukjend. Neste steg er å løysa modellen (likninga).

Me kan trekja saman på høgre side, og få

\begin{align} 200 = 1,25 \cdot p_{u} . & (4) \end{align}

Me kan dela med same tal på båe sider:

\begin{align} \frac{200}{1,25} = p_{u}, & (5) \end{align}

eller $p_{u} = 160$ . Prisen utan mva. er altso 160 kr.

For å finna mva. må me gå tilbake til modellen, i likning (2):

\begin{align} m = 0,25 \cdot p_{u} = 0,25 \cdot 160 = 40 . & (6) \end{align}

Meirverdiavgifta er altso 40 kr.

Øvingsoppgåve 1.15 Ei vare kostar 100 kr. med mva. Kor mykje får seljaren? Kor mykje vert betalt i mva?

Øvingsoppgåve 1.16 ( $⋆$ ) Ei vare kostar 100 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 1.17 ( $⋆$ ) Ei vare kostar 240 kr. med mva. Kor mykje får staten i mva?

Øvingsoppgåve 1.18 ( $⋆$ ) Ei vare kostar 240 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 1.19 ( $⋆$ ) Ei vare kostar 500 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 1.20 ( $⋆$ ) Ei vare kostar $x$ kr. med mva., for ein eller annan ukjend $x$ . Kor stor del av utsalsprisen er mva.?