Kjerneregelen fleire gongar | Matematisk Problemløysing

15.3 Kjerneregelen fleire gongar

Eksempeloppgåve 15.9 Deriver funksjonen

f (x) = ln ({(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{4}) .

Løysing 15.6 Me skal derivera

f (x) = ln ({(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{4}) .

Når me derivererer logaritmefunksjonen, får me

\frac{1}{{(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{4}} .

So må me derivera argumentet til logaritmen, som gjev

4 {(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{3} .

Parentesen (som er opphøgd i tredje, må deriverast. Eksponentialfunksjonen er sin eigen derivert og 1 er konstant, slik at den deriverte vert null, altso er den deriverte av parentesuttrykket

e^{x^{2} - 1} .

Til sist må me derivera eksponenten, som gjev

2 x .

Alt dette vert ganga saman:

f^{'} (x) = \frac{1}{{(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{4}} \cdot 4 {(e^{x^{2} - 1} + 1)}^{3} \cdot e^{x^{2} - 1} \cdot 2 x .

Me kan dra litt saman, til

f^{'} (x) = \frac{8 \cdot e^{x^{2} - 1} \cdot x}{(e^{x^{2} - 1} + 1)} .

Øvingsoppgåve 15.10 Deriver funksjonane

\begin{align} f (x) & = ln (e^{2 x^{2} - x} + 1), & (131) \\ g (x) & = {(ln (x^{2} - x))}^{4}, & (132) \\ h (x) & = e^{{(x^{3} - 2 x^{2} + x)}^{17}} . & (133) \end{align}