Matematisk Problemløysing 2020

Veke 7. Lineær kostnad og inntekt

Profittfunksjonen

8.3 Profittfunksjonen

Eksempeloppgåve 8.18 Me skal sjå litt meir på bryggeriet frå oppgåve 8.8. Inntektsfunksjonen er I(x) = 22x, og kostnadsfunksjonen K(x) = 10000 + 7x.

1.
Finn ein funksjon som fortel kor mykje bryggeriet tener (profitten) når dei produserer og sel x liter øl.
2.
Plott funksjonen og samanlikn han med løysinga frå oppgåve 8.8.

Løysing 8.7 Profitten er differansen mellom inntekt og kostnad, altso

P(x) = I(x) K(x).

Sidan kostnaden og inntekta er funksjonar av produksjonsvolumet x, so må profitten P(x) òg vera det.

Om me set inn, får me

P(x) = 22x (10 000 + 7x) = 15x 10 000.

Grafisk ser det slik ut:

PIC

Her har me plotta i same diagram som kostnads- og inntektsfunksjonen, for å kunna samanlikna. Me kan dobbelsjekka at den vertikale avstanden mellom inntekt og kostnad er lik avstanden mellom profitt og null (dvs. x-aksen).

Øvingsoppgåve 8.19 Lat oss gå tilbake til sandtaket på Mo i oppgåve 8.9. Inntektsfunksjonen er I(x) = 600 x og kostnadsfunksjonen K(x) = 100 000 + 300x.

1.
Finn ein funksjon som fortel kor mykje sandtaket tener (profitten) når dei produserer og sel x tonn sand.
2.
Plott funksjonen og samanlikn han med løysinga frå oppgåve 8.9.

Merknad 8.3 Funksjonen som me fann i oppgåva over vert gjerne kalla profittfunksjonen.

Definisjon 8.1 (Lineær funksjon) Alle funksjonane som me har studert so langt har formen f(x) = a x + b og når me plottar dei, får me ei rett line. Difor kallar me slike funksjonar lineære.

Definisjon 8.2 (Lineær likning) Når me krev at to funksjonuttrykk skal vera like, f.eks. for å finna balansen mellom kostnad og inntekt, får me ei likning, t.d. 

K(x) = I(x).

Når båe sidene i likninga er lineære funksjonar, so seier me at det er ei lineær likning.