Matematisk Problemløysing 2020

Veke 11. Funksjonsdrøfting

Andregradsfunksjonar

12.1 Andregradsfunksjonar

Eksempeloppgåve 12.1 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 x.

Løysing 12.1 Det er greitt å ha med skjæringspunkta med aksane. Me kan sjå (ved å trekkja ein x utanfor parentes) at

f(x) = x(x 1).

Dermed har me to nullpunkt, eitt for kvar faktor, når x = 0 og når x 1 = 0.

Me veit at andregradsfunksjonen er symmetrisk, og symmetrilina går midt mellom nullpunkta, altso for x = 1 2.

For å finna y-verdien i ekstremalpunktet, som ligg på symmetrilina, set me inn i funksjonen:

f(1 2) = 1 21 2 1 = 1 4.

Dette er nok informasjon til å fullføra skissa.

PIC

Øvingsoppgåve 12.2 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 + 1.

Eksempeloppgåve 12.3 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 + x + 1.

Løysing 12.2 Det er greitt å ha med skjæringspunkta med aksane. Nullpunkta finn me ved å løysa likninga f(x) = 0. Formelen for andregradslikningar gjev

x = 1 ±1 4 2 = 1 ±3 2 .

Legg merkje til 3 under rotteiknet. Kvadratrota er ikkje definert for negative tal, og difor har funksjonen ingen nullpunkt.

Me kan finna botnpunktet ved å derivera:

f(x) = 2x + 1,

og f(x) = 0 for x = 1 2. Funksjonen er altso symmetrisk om lina x = 1 2, og funksjonsverdien i botnpunktet er

f(1 2) = 3 4.

Dette er eit godt utgangspunkt for å skissera.

PIC

Øvingsoppgåve 12.4 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 + x 1.

Øvingsoppgåve 12.5 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 + 2x + 1.

Øvingsoppgåve 12.6 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x2 2x + 3.

Merknad 12.2 Der er ein symmetri i formelen for å løysa andregradslikningar:

x = b ±b2 4ac 2a .

Der er to røter, éi for positivt og éi for negativ rottuttrykk. Røtene ligg symmetrisk om lina

x = b 2a .

Me kan alltid finna symmetrilina på denne måten, og me ser at det ville ha gjeve same svar i løysinga på oppgåve 12.3.