Matematisk Problemløysing 2020

Veke 5–6. Finansmatematikk

Summeteiknet

5.2 Summeteiknet

Merknad 5.1 Me vil få nytte av meir kompakt, matematisk notasjon for tabellen i den alternative løysinga over. Skriv S6 for saldoen etter seks år. Tabellen viser at S6 er summen av seks ledd på formen 1000 1,03i for ulike verdiar av i. Matematisk skriv me

S6 = 1000 + 1000 1,031 + 1000 1,032 + 1000 1,033 + 1000 1,034 + 1000 1,035

eller

S6 = i=05(1000 1,03i).

Me kan setja utanfor parentes, slik:

S6 = 1000 (1 + 1,031 + 1,032 + 1,033 + 1,034 + 1,035)

eller slik

S6 = 1000 i=051,03i.

Ein slik sum, der alle ledda har formen a bi for ulike verdiar av i, kaller me for ei geometrisk rekkje.

Merknad 5.2 Teiknet er den greske bokstaven stor sigma, men me kaller det gjerne for summeteikn når det er brukt som i merknaden over.

Eksempeloppgåve 5.3 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x2 + x4 + x6 + x8

Løysing 5.3 Her er det eksponenten som varierer frå ledd til ledd. Alle er partal, som kan skrivast som 2i, der i går frå 1 til 4. Då kan me skriva summen som

i=14x2i.

Øvingsoppgåve 5.4 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5

Øvingsoppgåve 5.5 Skriv fylgjande sum ut med eksplisitte ledd og plussteikn:

i=15i.

Eksempeloppgåve 5.6 Ofte har me summar med svært mange ledd, t.d.

a1 + 2a2 + 3a3 + + 100a100.

Skriv summen med summeteikn.

Løysing 5.4 Ellipsen () indikerer manglande ledd. Der er ingen formelle regler som seier kva ledd som manglar. Me må sjå på mynsteret i dei ledda som finst, og litt sunt bondevett, og dei fleste vil då tenkja at der skal vera 100 ledd på formen i ai. Med summeteikn skriv me:

i=1100i a i.

Øvingsoppgåve 5.7 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x2 + x3 + x4 + x50.

Merknad 5.3 Me skreiv parentesene i Merknad 5.1 av pedagogiske grunnar, for å unngå tvetyding og gjera operasjonane lettare gjenkjennelege. Dei er ikkje naudsynte, og det er korrekt å skriva

S6 = i=051000 1,03i = 1000 i=051,03i. (30)