Veke 9. Grensekostnad

Eksempeloppgåve 10.23 I fiskeforvaltinga søkjer ein å regulera fisket slik at utbytet vert størst mogleg over tid. Matematiske modellar vert brukt for å forklara samanhengen mellom mengd og tilvekst av fisk i havet. Ein slik modell (frå ?) er

som gjev tilveksten $g\left(b\right)$ (g for growth) for ein gjeven bestand $b$.

Dersom fiskeuttaket er lik tilveksten, vert bestanden stabil. Finn den bestanden $b$ som gjev høgast tilvekst.

Løysing 10.9 Lat oss byrja med å teikna ei skisse over funksjonen

Når ein av faktorane på høgre side er null, må produktet vera null. Dermed har funksjonen nullpunkt for $b=0$ og for $100-b=0$ (dvs. for $b=100$). Desse nullpunkta markerer me i skissa.

Vidare kan me sjå at når me gongar ut parentesen $\left(100-b\right)$, får me eit andregradsledd ($b^2$) med negativt forteikn. Kurva skal difor ha botnen opp.

Me skal finna toppunktet som er markert i figuren, dvs. punktet der den deriverte $g^{\prime }\left(x\right)=0$. Dersom me gangar ut parentesen er det lettera å finna den deriverte:

Det gjev ei likning

Høgast tilvekst får me altso ved ein bestand på 50.

Merknad 10.11 Merk at fordi andregradsfunksjonen er symmetrisk, so må toppunktet 50 liggja midt mellom nullpunkta 0 og 100. Det er kjekt å sjå at dette stemmer me rekninga over.

Me har brukt den omstendelege løysinga med den deriverte for å øva oss til me får andre funksjonar som ikkje er symmetriske.

Øvingsoppgåve 10.24 Sjå på fylgjande vekstmodell,

der $g\left(b\right)$ er tilveksten for ein gjeven bestand $b$. Finn den bestanden $b$ som gjev høgast tilvekst.