Veke 12. Den andrederiverte

Eksempeloppgåve 13.1 Me har funksjonen $f\left(x\right)$ med den deriverte:

Drøft og skissér $f^{\prime }\left(x\right)$.

Løysing 13.1 Legg merke til at $f^{\prime }\left(x\right)$ er ein funksjon. Drøfting av $f^{\prime }\left(x\right)$ vert det same som drøfting av einkvan annan andregradsfunksjon. Dvs. at me kan derivera han, slik

Me har $f^{″}\left(x\right)=0$ for $x=2∕3$, og $f^{″}\left(x\right)$ byter forteikn. Difor har $f^{\prime }\left(x\right)$ eit ekstremalpunkt for $x=2∕3$.

Nullpunkta åt $f^{\prime }\left(x\right)$ finn me med formel, som fylgjer

Her er inga løysing, so $f^{\prime }\left(x\right)$ har ingen nullpunkt.

Me kan teikna forteiknsdiagram for $f^{\prime }\left(x\right)$ og $f^{″}\left(x\right)$. Forteikna for $f^{″}\left(x\right)$ viser at $f^{\prime }\left(x\right)$ fyrst fell og so stig. Dette kan me bruka som utgangspunkt for å skissera $f^{\prime }\left(x\right)$ som vanleg i koordinatsystemet.

Øvingsoppgåve 13.2 Me har funksjonen $f\left(x\right)$ med den deriverte:

Drøft og skissér $f^{\prime }\left(x\right)$.

Merknad 13.1 Over har me funne den deriverte av den deriverte til ein funksjon $f\left(x\right)$. Funksjonen $f^{″}\left(x\right)$ kallar me gjerne for den andrederiverte, eller den dobbelderiverte, av $f\left(x\right)$.

Eksempeloppgåve 13.3 Me har funksjonen $f\left(x\right)$ med den deriverte:

Drøft og skissér $f^{\prime }\left(x\right)$.

Løysing 13.2 Me drøftar $f^{\prime }\left(x\right)$ som einkvan annan tredjegradsfunksjon. Derivasjon gjev

Nullpunkt for $f^{″}\left(x\right)$ er

Sidan andregradsleddet er positivt, har andregradsfunksjonen botnen ned. Då kan me teikna forteiknsdiagram, og skissera $f^{\prime }\left(x\right)$ basert på det.

Me har markert nullpunkt i origo, sidan det er lett å sjå at alle ledda i $f^{\prime }\left(x\right)$ er delelege med $x$. Dei andre nullpunkta har me ikkje rekna ut.

Øvingsoppgåve 13.4 Me har funksjonen $f\left(x\right)$ med den deriverte:

Drøft og skissér $f^{\prime }\left(x\right)$.