Statistikk og Simulering

Statistikk

Veke 2. Stokastiske hendingar og variablar

3.1. Veke 2. Stokastiske hendingar og variablar

  3.1.1 Lesestoff og heimearbeid
  3.1.2 Onsdag (Førelesing)
  Tilfeldige og vilkårlege tal
  Fleire forsøk
  Uavhengige og avhengige hendingar
  Samansette forsøk og hendingar
  3.1.3 Fredag (rekneøving)

Målet denne veka er

1.

å forstå kvifor me treng studera statistikk og simulering, og kvar dette vert brukt.

2.

ei intuitiv forståing av fylgjande omgrep:

Tilfeldig
Eksperiment (forsøk)
Utfall og utfallsrom
Stokastisk variabel
Uniform fordeling
Hending
Sannsyn (sannsynlegheit)
Fordeling og kummulativ fordeling

3.

sjå korleis me kan simulera stokastiske hendingar i Matlab.

4.

sjå kva ein kan venta i gjennomsnitt når stokastiske eksperiment vert gjentekne.

3.1.1. Lesestoff og heimearbeid

Les 1 (Repetisjon) Frå Frisvold og Moe: Kapittel 1.

Les 2 (Introduksjon) Frå Frisvold og Moe: Kapittel 2.

Les 3 (Sannsynsrekning) Frå Frisvold og Moe: §3.1-3.7

Skaff deg tilgang til MATLAB før fredag. Sjå innsida. Du må i alle fall prøva å installera før labøvinga. Dersom du har problem med installasjonen, ver snill å gje meg melding før fredag (hasc@ntnu.no). Eg kan hjelpa med installasjon på linux; spørsmål om installasjon på Mac OS og Windows må rettast til Orakel.

3.1.2. Onsdag (Førelesing)

Me skal bruka quiz i mange av førelesingane.

1.: Opna https://moodle.uials.no
2.: Du må laga deg ein konto og logga inn. Du kan bruka Google, eller laga eigen konto på Moodle.
3.: Vel kurset «Statistikk og Simulering».
4.: Finn riktig veke og åpna aktiviteten «Tilfeldige og Vilkårlege tal».

Tilfeldige og vilkårlege tal

Quiz Tilfeldige tal frå 1 til 10.

Oppgåve 3.1 (Diskusjon) Diskuter kva det vil seia at eit tal er tilfeldig. Bruk quizzen som døme.

Terningkastet er eit typisk døme på eit eksperiment eller forsøk i statistikk. Dette forsøket har ti moglege utfall, $1, 2, \dots, 10$ . Mengda av moglege utfall kaller me for utfallsrommet

{1, 2, \dots, 10}

Me kan tenkja på talet som terninga viser som ein variabel. Før me kastar terninga er dette ein stokastisk variabel. Me veit ikkje kva verdi variabelen har, men han har ein sannsynsfordeling. Når me har kasta og lest av verdien, er ikkje variabelen lenger stokastisk; i staden har me ein observasjon av den stokastiske variabelen.

Oppgåve 3.2 (Diskusjon) Kva meiner me med sannsyn?

Stokastiske variablar (og forsøk) har ei sannsynsfordeling, som er ein funksjon som tilordnar eit sannsyn (i intervallet $[0, 1]$ ) til kvart mogleg utfall frå utfallsrommet. For diskrete stokastiske variablar kan me visa sannsynsfordelinga som ein tabell eller eit histogram.

Fleire forsøk

Quiz Mynt og kron. Eit og to kast.

Oppgåve 3.3 Me kastar mynt og kron to gongar, der utfalla er mynt-mynt, mynt-kron, kron-mynt og kron-kron. Kva er sannsynsfordelinga?

Når me kastar ein rettferdig mynt fleire gongar er kasta uavhengige. Uansett kva som skjer i fyrste kast, so er sannsynsfordelinga 50-50 i neste kast.

Definisjon 1 (Hending) Ei hending er eit eller anna vilkår som anten skjer eller ikkje skjer i eit forsøk (eller serie av forsøk). Me kan definera ei hending som ei delmengd av utfallsrommet.

Definisjon 2 Me seier at eit forsøk (eller ein stokastisk variabel) har uniform sannsynsfordeling dersom alle utfalla er like sannsynlege.

Oppgåve 3.4 Me kastar mynt og kron to gongar og observerer kor mange gongar me får kron. Kva er sannsynsfordelinga?

Oppgåve 3.5 Du har ein vanleg stokk med spelkort (52 kort), og deler ei pokerhand (fem kort). Kva er sannsynet for å få royal straight flush (10-Kn-D-K-E i same farge)?

Merknad 1 I tilfellet at alle utfall har lik sannsynlighet, kan sannsynligheten av en hendelse regnes ut som:

\begin{align} P (hendelse) = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall} & (1) \end{align}

hvor et utfall er “gunstig” om det ligger i hendelsen.

Oppgåve 3.6 Me kastar mynt og kron tre gongar. Kva er sannsynet for å få

1.: mynt på begge dei to fyrste kasta (Hending $A$ )?
2.: kron på begge dei siste to kasta (Hending $B$ )?
3.: mynt på dei to fyrste og kron på dei to siste (Hending $A \cap B$ )?
4.: mynt på begge dei siste to kasta (Hending $C$ )?
5.: mynt på dei to fyrste og mynt på dei to siste (Hending $A \cap C$ )?

Definisjon 3 To hendingar $A$ og $B$ er gjensidig utelukkande (disjunkte) når det er uråd at båe skjer. Mao., dersom $A$ skjer, so kan ikkje $B$ skje og vice versa.

Om to hendelser er gjensidig utelukkende, er sannsynligheten for at begge inntreffer lik $0$ :

\begin{align} P (A \cap B) = 0 & (2) \end{align}

Me kan sjå på eit utfall som ei hending, men to moglege utfall er alltid gjensidig utelukkande.

Uavhengige og avhengige hendingar

Oppgåve 3.7 (Diskusjon) Vi har en hvit og en svart terning (D6) og kaster begge samtidig. Hvordan kan vi regne ut sannsynligheten for at den hvite terningen viser 3 øyne og den svarte et partall?

Quiz To kular

Oppgåve 3.8 (Diskusjon) Vi har en pose med 2 hvite og 2 svarte kuler. Vi drar først en tilfeldig kule, legger den ikke tilbake, og velger igjen en tilfeldig kule. Hva er sannsynligheten for at vi velger to hvite på rad?

Samansette forsøk og hendingar

Oppgåve 3.9 (Drøfting) Ein analytikar estimerer

30% sannsyn for at rentenivået går opp i 2019.
20% sannsyn for at bustadprisane fell i 2019.
15% sannsyn for at rentenivået går opp og bustadprisane fell.

Kva sannsyn meiner han at det er for at bustadprisane fell utan at rentenivået går opp?

3.1.3. Fredag (rekneøving)

Oppgåve 3.10 Me slår mynt og kron to gongar, og registrerer fylgjande hendingar:

0 gongar mynt
1 gongar mynt
2 gongar mynt

Svar på fylgjande:

1.: Kva er sannsynet for kvar av hendingane?
2.: Er hendingane gjensidig utelukkande? Kvifor/kvifor ikkje?
3.: Illustrer sannsynsfordelinga med eit søylediagram.

Oppgåve 3.11 Oppgaver fra Frisvold og Moe: 3.1, 3.4, 3.6, 3.8

Oppgåve 3.12 (Ekstra) Oppgaver fra Frisvold og Moe: 3.9, 3.10, 3.5.

Oppgåve 3.13 (Ekstra) Vi kaster tre terninger, én ad gangen. Hva er sannsynligheten at:

1.: summen av de første to terningene er mindre enn 5 (hendelse $A$ )?
2.: summen av de siste to terningene er større enn 9 (hendelse $B$ )?
3.: summen av de første to terningene er mindre enn 5, mens summen av de siste to terningene er større enn 9 (hendelse $A \cap B$ )?