Statistikk og Simulering

Prosjekt 4

Diffusjonsproblemet

7.1. Diffusjonsproblemet

Prosjekt 4 går over to veker. Me skal sjå på eit velkjend fysisk problem som me skal analysera både teoretisk og ved simulering. Der er fleire måtar å løysa oppgåva på, og for å kunna velja er det viktig at de veit kva som skal leverast inn til slutt. Les difor denne introduksjonen nøye.

Døme 13 Tenk deg ei glaskrukke med klart vatn. Du slepp ei dråpe med raud konditorfarge ned i krukka. Med ein gong er dråpa ein liten flekk med konsentrert raudfarge, men ganske raskt vil fargen spreia seg utover samstundes som han vert mindre intens. Dette fenomenet vert kalla diffusjon i fysikken.

Diffusjon handlar om eitt stoff som spreier seg i eit anna stoff, slik som fargestoffet i vatnet i dømet over. Stoffet består av partiklar, og diffusjonen er eit resultat av stokastisk rørsle.

Den enklaste måten å skildra diffusjon er å ta utgangspunkt i ein agent-basert modell på ein raster, der éin partikkel er éin agent. Partikkelen flyttar seg tilfeldig. I ein enkel eindimensjonal modell kan t.d. sannsynsfordeling vera 10% sannsyn for eitt steg til høgre, 10% for eit steg til venstre og 80% for at partikkelen står i ro.

Ein kan simulera i ein, to eller tre dimensjonar. Krukka vår er sjølvsagt tredimensjonal. Ein eindimensjonal modell kan representera farge som diffunderer på ein våt bomullstråd, eller bakteriar som spreier seg i eit vassrøyr.

Oppgåve 7.1 (Innlevering 4) De skal studera diffusjon i to dimensjonar (eller tre dimensjonar dersom de klarer å visualisera det). Innleveringa skal omfatta

1.
Ein sannsynsfordeling for korleis éin partikkel rører seg på eitt tidssteg.
2.
Ein visualisering av partikkelkonsentrasjonen (fargeintensiteten i dømet med konditorfarge) over tid basert på simulering.
3.
Ein sannsynsfordeling for kvar partikkelen finst etter t = 1, 2, 3, 4, 5 tidssteg. Denne reknar de ut analytisk basert på sannsynsfordelinga for eitt tidssteg (1).
4.
Ein refleksjon der du
a)
ein forklaring på korleis de har simulert og kvifor. Kor mange partiklar må simuleringa starta med for å få gode resultat?
b)
samanliknar dei analytiske resultata (3) med simuleringa (2).
c)
vurderer kva du har lært og kva du kan ha nytte av vidare.

Randvilkår. Me hoppa over då me introduserte predator/prey, men det er eit viktig spørsmål. Kva skjer når ein partikkel (agent) kjem til kanten (randen) av landskapet?

Absorberande
Forsvinn agenten ut av landsskapet?
Syklisk
Dukkar agenten opp på motsett side av landskapet, som om landskapet er ei kuleoverflate?
Reflekterande
Ser agenten veggen og bestemmer seg for å snu? I kva retning snur ein?

Der kan vera fleire variasjonar over randvilkåra. Det viktigaste her er å gjera eit reflektert val som tek omsyn til problemet ein ynskjer å simulera.

Syklisk er mykje brukt, ikkje berre fordi verda er ein klode, men òg fordi ein kan tenkja seg at ein simulerer eit område i ei større verd der alle områda er einsarta. Då førestiller ein seg at agentane som forsvinn ut på den eine sida tilsvarer (omtrent) agentane som kjem inn frå naboområdet på motsett side.

På ein liknande måte kan absorberande randvilkår vera fornuftig dersom ein simulerer eit lite område i ei stor verd, der naboområda er svært forskjellige frå det området ein simulerer.

Der kan vera både konkrete og abstrakte grunnar for valet ein gjer.