Statistikk og Simulering

Prosjekt 3

Veke 8. Estimering av feilsannsyn

7.4. Veke 8. Estimering av feilsannsyn

  7.4.1 Ordfeil
  7.4.2 Teoretisk fordeling i Matlab
  The probability distribution function (PDF)
  The cummulative distribution function (CDF)
  7.4.3 Bitfeil

I denne øvinga skal du bruka simulatoren frå forrige veke.

7.4.1. Ordfeil

Oppgåve 7.11 (Drøfting) Tenk deg at du sender $m$ ord og tel talet på ordfeil $Y$ . Er $Y$ binomialfordelt? Kvifor (ikkje)?

Oppgåve 7.12 Bruk simulatorane dinne frå førre veka og køyr fylgjande fire simuleringar:

1.: Hammingkoden (fire bits melding)
2.: Ukoda, med fire bits melding
3.: BCH-koden (elleve bits melding)
4.: Ukoda, med elleve bits melding

Køyr $m = 100$ forsøk med bitfeilsannsyn $p_{b} = 0,1$ . Registrert talet $Y$ på ordfeil i kvar simulering.

Oppgåve 7.13 Ordfeilsannsynet vert som regel estimert som $\hat{P} = Y ∕ m$ . Rekn ut estimatet for kvart av dei fire scenarioa i forrige oppgåve.

Oppgåve 7.14 Finn standardavviket for estimatoren $\hat{P} = Y ∕ m$ i kvar simulering.

Oppgåve 7.15 (Drøfting) Samanlikna scenarioa frå forrige oppgåve. Kva gir mest/minst robust kommunikasjon? Kvifor?

Kva fortel standardavviket om samanlikninga.

Oppgåve 7.16 (Konfidensinterval) Rekn ut eit $95 %$ konfidensinterval for ordfeilsannsynet $p$ , for kvar av dei fire eksperimenta.

Oppgåve 7.17 (Konfidensinterval) Gjenta simuleringane i oppgåve 7.12 med $m = 1000$ sendte ord. Rekn ut eit $95 %$ konfidensinterval for ordfeilsannsynet $p$ , for kvar av dei fire eksperimenta.

Samanlikn konfidensintervalla med forrige oppgåve. Kva ser du?

7.4.2. Teoretisk fordeling i Matlab

The probability distribution function (PDF) I Matlab kan du skriva $pdf (’binom’, x, n, p)$ for å finna sannsynet $P (Z = x)$ for $Z \sim B (n, p)$ . PDF står for probability distribution function.

Oppgåve 7.18 Gå tilbake til overføringa av fire-bits ord over BSC $(0.1)$ . Lat $Z$ vera talet på bitfeil. Bruk Matlab for å finna sannsynet $P (Z = 0)$ , som fylgjer

1  pdf(’binom’,0,4,0.1)

Samanlikn svaret med di eiga utrekning tysdag.

På same måte, finn $P (Z = z)$ for $z = 1, 2, 3, 4$ , og samanlikn med di eiga utrekning.

Oppgåve 7.19 Lat $Z \sim B (4, 0,1)$ . Me skal visualisera sannsynsfordelinga for $Z$ i Matlab.

Fyrst, merk at me kan bruk pdf på ein vektor eller matrise. Køyr fylgjande i Matlab

1  zv = 0:4 
2  pv = pdf(’binom’,zv,4,0.1)

Vektoren zv er utfallsrommet. Den andre lina reknar ut

P (Z = z)

for

z = 0, 1, 2, 3, 4

og returnerer ein vektor.

No kan me plotta fordelinga

1  bar(zv,pv) 
2  figure 
3  plot(zv,pv)

I den midterste lina opnar figure eit nytt figurvindauga slik at du kan sjå begge plotta ved sidan av kvarandre.

Oppgåve 7.20 Bruk teknikken over og plott den teoretiske fordeling for talet på bitfeil når du sender $n = 10$ bits over BSC $(p)$ for $p = 0,01, 0,05, 0,1$ . Samanlikn plottet med histogramma du fekk i oppgåve ??. Kva ser du?

The cummulative distribution function (CDF) The pdf function (for a discrete distribution) gives you the probability $P (X = x)$ . Another important function is cdf (Cummulative Distribution Function) which gives the probability $P (X \leq x)$ .

Oppgåve 7.21 Suppose you send a word of 1000 bits over a BSC bit bit error probability $p = 0.02$ . What is the probability of getting at most ...

1.: $2 %$ bit errors?
2.: $5 %$ bit errors?

(Use matlab to find the answer.)

7.4.3. Bitfeil

Oppgåve 7.22 Bruk simulatorane dinne frå førre veka og køyr fire simuleringar simuleringar, med ukoda og BCH-koden (elleve bits melding) med bitfeilsannsyn $p_{b} = 0,1$ og $p_{b} = 0,2$ . Denne gongen skal du registrera talet på bitfeil $X$ for kvart forsøk (sendte ord). Køyr $m = 200$ forsøk og plott eit histogram for kvar simulering (fire plott).

Samanlikna dei fire simuleringane. Ser det ut som om bitfeila binomialfordlete? Er der skilnad på fordelinga med og utan koding? Dersom det er vanskeleg å sjå, kan du freista simuleringane på nytt med større verdi for $m$ .