Statistikk og Simulering

Statistikk

Veke 8. Intervallestimering

3.7. Veke 8. Intervallestimering

Under utvikling

3.7.1. Lesestoff og heimearbeid

Les 11 (Forventingsverdi) Frå Frisvold og Moe: Kapittel 9

3.7.2. Onsdag (førelesing)

Repetisjon

Definisjon 12 Dersom x̂ er ein estimator for x, so kallar me standardavviket σ åt x̂ for standardfeilen åt estimatoren, og skriv

S.E.(x̂) = σ.

Sats 2 Feilraten p̂ er ein estimator for feilsannsynet p, og standardfeilen er gjeve som

S.E.(p̂) = p(1 p) n ,

når feilraten er rekna over n forsøk. Ein estimator for standardfeilen er

S.E.̂(p̂) = p ̂ (1 p ̂ ) n .

Konfidensintervall Dersom me tek fylgjande intervall rundt punktestimatoren p̂

(p̂ S.E.̂(p̂),p̂ + S.E.̂(p̂))

går det an å visa at sannsynet for at intervallet omfattar parameteren p er cirka 68%. Meir presist

P(p > p̂ + S.E.̂(p̂)) = 0.1587 (8)  P(p̂ S.E.̂(p̂) < p < p̂ + S.E.̂(p̂)) = 0.683 (9)  P(p < p̂ S.E.̂(p̂)) = 0.1587 (10) 

Me kaller intervallet for eit 68.3% konfidensintervall for dekodingsfeilssannsynet p. Talet 68.3% konfidensnivået.

Merk at det er intervallet som er stokastisk, medan parameteren p er konstant (men ukjent). Me kan difor ikkje tala om sannsynet for at p ligg i intervallet.

Oppgåve 3.69 Me skal estimera ein feilrate, og testar systemet 1000 gongar, og finn 120 feil. Finn eit 68,3% konfidensintervall for feilsannsynet π.

Oppgåve 3.70 Me skal finna gjennomsnittsvekta for ein viss dyreart i eit visst område. Me veit at vekta er normalfordelt med standardavvik σ = 4, men gjennomsnittsvekta varierer frå område til område avhengig av mattilgang m.m.

Me måler ni dyr, og finn vektane

3,2; 3,8; 4,2; 4,4; 4,4; 4,5; 4,7; 5,1; 5,2

Finn eit 95,4% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta.

Oppgåve 3.71 Tilsvarande forrige oppgåve, men denne gongen er σ ukjend. Oservasjonene er dei same som over. Finn eit Finn eit 95% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta.

One pitfall to avoid Consider the following to statements:

1.
When you are going to calculate a 95% confidence interval for p, the probability is 95% that you get an interval which encloses p.
2.
When you have calculated a 95% confidence interval (l,u) for p, the probability is 95% that l p u.

Oppgåve 3.72 Compare the two statements above. Are they equivalent or not? Is the first statement true? Is the second statement true?

t-fordeling

3.7.3. Fredag (rekneøving)

Oppgåve 3.73 Me ynskjer å finna gjennomsnittsvekta på torsk i eit visst havområde. Me reknar med at vekta er normalfordelt, med standardavvik σ = 0,5. Me fangar åtte torsk, og måler vektene til

1,2,2,3,2,4,2,9,3,1,3,5,4,4,6,0

1.
Rekn ut eit 95% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta μ.
2.
Rekn ut eit 98% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta μ.

Du kan bruka resultata frå oppgåva 3.62 som mellomrekning. Datasettet er det same.

Oppgåve 3.74 Me har utvikla ein algoritme for andletsgjenkjenning i bilete. Systemet er ikkje perfekt, og me må rekne med at for kvart bilete er der eit sannsyn π for at biletet vert kopla til feil person. Sett at me tester systemet på 1000 bilete og får feil 110 gongar.

  • Finn eit 95% konfidensinterval for punktsannsynet π.
  • Finn eit 99% konfidensinterval for punktsannsynet π.

Du kan bruka resultata frå oppgåva 3.65 og 3.66 som mellomrekning. Datasettet er det same.

Oppgåve 3.75 Ta for deg torskevektene i oppgåve 3.73 igjen. Det viser seg at det oppgjevne standardavviket ikkje er til å lita på. Me må rekna σ som ukjend.

1.
Rekn ut eit 95% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta μ.
2.
Rekn ut eit 98% konfidensintervall for gjennomsnittsvekta μ.

Oppgåve 3.76 Frisvold og Moe: oppgåve 9.1-9.2.

Oppgåve 3.77 Frisvold og Moe: oppgåve 8.2 og 8.11

Oppgåve 3.78 (Ekstra) Frisvold og Moe: oppgåve 9.10-9.11.

Oppgåve 3.79 (Ekstra) Frisvold og Moe: oppgåve 9.3, 9.12 og 9.16.

3.7.4. Etterarbeid (videføredrag)

Les: Frisvold og Moe s. 145-147

Foilar: PDF

Problem 3.1 Suppose you are testing a system with error probability of 0.01. How many trials do you need to make your estimator p̂e fall between 0.011 and 0.009 99.75% of the time?

Foilar: PDF

Les: Frisvold og Moe s. 120ff, 132

Foilar: PDF

Les: Frisvold og Moe s. 147-148, 163-165

Foilar: PDF

Les: Frisvold og Moe s. 167-169

Foilar: PDF

Den binærsymmetriske kanalen har ikkje hugs, dvs. han hugsar ikkje om han har laga feil i tidlegare bits og bitfeilsannsynet er dermed konstant og uavhengig. Lagring på optiske og magnetiske platar vil ofte gje kanalar med hugs, fordi ei av dei største feilkjeldene er riper og hakk som øydelegg fleire bit på rad.

Les: Frisvold og Moe s. 36-38(ff)

Foilar: PDF